名师教你一招 解几何新题型巧妙不耗时

        中考数学中，几何部分（空间与图形）约占40%。以前的几何题，图形都是事先配好，考生只需根据给定图形作答。近年，关于作图（画图）的题目又有新动向：考查数学文字语言与图形语言的转化能力。有些几何题只给文字，学生解题第一步是“画图”，很考验综合能力，一旦图画错，解题就大受影响。拱墅区初中数学教研员姚琪翔，针对几何题给出了解答技巧。 
        （2014年中考第16题）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若BH＝■AC，则∠ABC所对的弧长等于____（长度单位）。 
        解析 
        此题是去年中考填空压轴题，4分，实测统计平均分不到1分。 
        此题图形很难一次画正确，考生开始一般先会画出这样的草图：A、B、C三点大致等距分布在圆周上，图中都是线段（图1），明显未满足BH与AC的数量关系（BH＝■AC）这一条件，同时题目中两次垂直、得交点，有大量的字母需标注，如果平时相关知识掌握不到位，图形容易出现错误，这样解答时走弯路、费时间是不可避免的；另外，有的同学不会分析题意，漠视多次出现的“直线”一词，没有进行分类讨论，产生了“会而不对、对而不全”的现象。 
        解题策略 
        （1）在通读试题基础上再动手画草图，要有修改草图的心理准备，消除紧张情绪； 
        （2）要结合具体条件，逐步修正图形。如图1中的BH明显小于AC，不符合题意，那么尝试改变B、C两点位置，如把点B逐渐向上（或者向下）移动，思考能否符合题目要求，从而画出符合题意的图形； 
        （3）要对重要词句保持高度敏感。题中的“直线”反复出现，它是一个重要“提示”——如果你画的都是线段，这时就要考虑图形的其他可能情况（如图2）；推而广之，对于已知条件中的“直线”、“射线”还是“线段”等表述要高度敏感； 
        （4）要有分类讨论思想。当文字表述转化为图形时，常有多种可能，会得到不同结果。如交换A、B、C不同顺序，出现新图形（如图3）； 
        （5）要学会合情推理。其一，已知半径求弧长，即为求弧的度数（角的度数），此度数必为特殊角度数，可有由BH＝■AC这一数量关系推算度数；其二，由图2观察可得∠ABC应为锐角，那么它有可能是钝角吗？这样的思考也能指导开展分类讨论； 
        （6）图不准也有利用价值。虽然图1不够准确，但如果正确使用BH＝■AC这一条件，不被所画图形中直观的线段长短干扰，也能得出其中一个正确答案； 
        （7）要及时标注。对于垂直、角相等或者线段相等等条件要用常规符号在图形上及时标注，例如直角标记等，可以强化图形语言的直观性，帮助学生高效归纳已知条件。 
        （8）要加强平时训练。几何复习中，有意识地根据已知条件自己动手画图，积累基本经验，培养分析、发现、提出、解决问题的能力，提升自己数学文字语言和图形语言的相互转化的能力。 

        名师 
        名片 
        姚琪翔 
        杭州市拱墅区教师进修学校数学教研员，中学高级教师，杭州市初中数学学科带头人，拱墅区首届“十佳教师”，参与、主持多个省市级科研课题，论文曾获省、市级一二等奖。 
        考场建议     
        很多考生平时做题不错，一到考试就时间来不及。所以，中考不仅考解题能力，也考验心态。考生可以参考以下原则： 
        1.试卷难度一般是由易到难，最好从上到下做。有些学生觉得后面的大题分值多、先做，一旦碰到难题卡住，再回过头做前面的题目，心态就失衡了，时间也来不及。 
        2.能做的先做，难做的跳过。去年中考21题较难，不少同学卡住了，没想到后两个大题相对容易，导致该拿分没拿到。所以要懂“舍得”。 
        3.能拿的分不能丢。做大题是按步骤给分，考生不要一看难就直接放弃。如果一些步骤能做就做一做，积攒起来也有不少考分。 
        4.平常做题不提倡，但中考不同，像选择题和填空题如果真不会，不妨用排除法或特殊值法，也许有意外惊喜。 
        【正确解答】       
        如图2，易得△ADC∽△BDH，所以BH∶AC＝BD∶AD，而BH＝■AC，可得BD＝ 
        ■AD，得∠ABC＝30°，弧AC为60°，所以∠ABC所对的弧长为■πr； 
        如图3，易得△ADC∽△BDH，所以BH∶AC＝BD∶AD，而BH＝■AC，可得BD＝■AD，得∠ABD＝30°，∠ABC＝150°，则优弧AC为300°，所以∠ABC所对的弧长为■πr； 
        综上所述，正确答案为■πr或者■πr。 

        复习建议 
        离中考还有约三个月，用好这段时间，成绩或许能提升一个档次。 
        复习阶段，考生一定要跟着老师走。老师有总的复习计划，且计划是教师团队合力形成的，经得起推敲。复习一般分为三轮—— 
        ●第一轮：夯实基础。1、目前很多初三生处在第一轮复习中后期。这时候，考生别急着做模拟卷，而是要重温课本，构建一个三年数学知识框架，明确知识点间的关系。一定要研究透书本上的例题（习题），因为很多中考题都由此改编。 
        2、用好《命题细则》，仔细对照各条目“自我审查”，了解中考到底考啥、考点掌握程度有啥要求。 
        3、同时试着提升运算能力。比如解一元二次方程，有的同学习惯用配方法，其实公式法、因式分解法更简单，要学会巧算。养成打草稿的习惯也很重要，不要东演算一题，西画一张图，最后算到哪步自己都糊涂了。 
        ●第二轮：提炼提升。1、别光听老师讲试题，一定要自己先解题，注重自己解题思维过程的经验积累。探索“多题归一”，形成通法、通解。2、有一本自己的纠错本，要对每道错题进行反思并备注解题思路及错误原因，避免重复错误。 
        ●第三轮：实战演习。找中考模拟卷进行定时实战训练，保持手感。不要陷入题海战术，应该每做一张卷，都反思总结批注试题，方便考前查阅。千万不要试着压题。中考数学中，几何部分（空间与图形）约占40%。以前的几何题，图形都是事先配好，考生只需根据给定图形作答。近年，关于作图（画图）的题目又有新动向：考查数学文字语言与图形语言的转化能力。有些几何题只给文字，学生解题第一步是“画图”，很考验综合能力，一旦图画错，解题就大受影响。拱墅区初中数学教研员姚琪翔，针对几何题给出了解答技巧。 
        （2014年中考第16题）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若BH＝■AC，则∠ABC所对的弧长等于____（长度单位）。 
        解析 
        此题是去年中考填空压轴题，4分，实测统计平均分不到1分。 
        此题图形很难一次画正确，考生开始一般先会画出这样的草图：A、B、C三点大致等距分布在圆周上，图中都是线段（图1），明显未满足BH与AC的数量关系（BH＝■AC）这一条件，同时题目中两次垂直、得交点，有大量的字母需标注，如果平时相关知识掌握不到位，图形容易出现错误，这样解答时走弯路、费时间是不可避免的；另外，有的同学不会分析题意，漠视多次出现的“直线”一词，没有进行分类讨论，产生了“会而不对、对而不全”的现象。 
        解题策略 
        （1）在通读试题基础上再动手画草图，要有修改草图的心理准备，消除紧张情绪； 
        （2）要结合具体条件，逐步修正图形。如图1中的BH明显小于AC，不符合题意，那么尝试改变B、C两点位置，如把点B逐渐向上（或者向下）移动，思考能否符合题目要求，从而画出符合题意的图形； 
        （3）要对重要词句保持高度敏感。题中的“直线”反复出现，它是一个重要“提示”——如果你画的都是线段，这时就要考虑图形的其他可能情况（如图2）；推而广之，对于已知条件中的“直线”、“射线”还是“线段”等表述要高度敏感； 
        （4）要有分类讨论思想。当文字表述转化为图形时，常有多种可能，会得到不同结果。如交换A、B、C不同顺序，出现新图形（如图3）； 
        （5）要学会合情推理。其一，已知半径求弧长，即为求弧的度数（角的度数），此度数必为特殊角度数，可有由BH＝■AC这一数量关系推算度数；其二，由图2观察可得∠ABC应为锐角，那么它有可能是钝角吗？这样的思考也能指导开展分类讨论； 
        （6）图不准也有利用价值。虽然图1不够准确，但如果正确使用BH＝■AC这一条件，不被所画图形中直观的线段长短干扰，也能得出其中一个正确答案； 
        （7）要及时标注。对于垂直、角相等或者线段相等等条件要用常规符号在图形上及时标注，例如直角标记等，可以强化图形语言的直观性，帮助学生高效归纳已知条件。
    （8）要加强平时训练。几何复习中，有意识地根据已知条件自己动手画图，积累基本经验，培养分析、发现、提出、解决问题的能力，提升自己数学文字语言和图形语言的相互转化的能力。 
        名师 
        名片 
        姚琪翔 
        杭州市拱墅区教师进修学校数学教研员，中学高级教师，杭州市初中数学学科带头人，拱墅区首届“十佳教师”，参与、主持多个省市级科研课题，论文曾获省、市级一二等奖。 
        考场建议     
        很多考生平时做题不错，一到考试就时间来不及。所以，中考不仅考解题能力，也考验心态。考生可以参考以下原则： 
        1.试卷难度一般是由易到难，最好从上到下做。有些学生觉得后面的大题分值多、先做，一旦碰到难题卡住，再回过头做前面的题目，心态就失衡了，时间也来不及。 
        2.能做的先做，难做的跳过。去年中考21题较难，不少同学卡住了，没想到后两个大题相对容易，导致该拿分没拿到。所以要懂“舍得”。 
        3.能拿的分不能丢。做大题是按步骤给分，考生不要一看难就直接放弃。如果一些步骤能做就做一做，积攒起来也有不少考分。 
        4.平常做题不提倡，但中考不同，像选择题和填空题如果真不会，不妨用排除法或特殊值法，也许有意外惊喜。 
        【正确解答】 
        如图2，易得△ADC∽△BDH，所以BH∶AC＝BD∶AD，而BH＝■AC，可得BD＝ 
        ■AD，得∠ABC＝30°，弧AC为60°，所以∠ABC所对的弧长为■πr； 
        如图3，易得△ADC∽△BDH，所以BH∶AC＝BD∶AD，而BH＝■AC，可得BD＝■AD，得∠ABD＝30°，∠ABC＝150°，则优弧AC为300°，所以∠ABC所对的弧长为■πr； 
        综上所述，正确答案为■πr或者■πr。 
        复习建议 
        离中考还有约三个月，用好这段时间，成绩或许能提升一个档次。 
        复习阶段，考生一定要跟着老师走。老师有总的复习计划，且计划是教师团队合力形成的，经得起推敲。复习一般分为三轮—— 
        ●第一轮：夯实基础。1、目前很多初三生处在第一轮复习中后期。这时候，考生别急着做模拟卷，而是要重温课本，构建一个三年数学知识框架，明确知识点间的关系。一定要研究透书本上的例题（习题），因为很多中考题都由此改编。 
        2、用好《命题细则》，仔细对照各条目“自我审查”，了解中考到底考啥、考点掌握程度有啥要求。 
        3、同时试着提升运算能力。比如解一元二次方程，有的同学习惯用配方法，其实公式法、因式分解法更简单，要学会巧算。养成打草稿的习惯也很重要，不要东演算一题，西画一张图，最后算到哪步自己都糊涂了。 
        ●第二轮：提炼提升。1、别光听老师讲试题，一定要自己先解题，注重自己解题思维过程的经验积累。探索“多题归一”，形成通法、通解。2、有一本自己的纠错本，要对每道错题进行反思并备注解题思路及错误原因，避免重复错误。 
        ●第三轮：实战演习。找中考模拟卷进行定时实战训练，保持手感。不要陷入题海战术，应该每做一张卷，都反思总结批注试题，方便考前查阅。千万不要试着压题。